1 函数&极限&连续

在这里记一些比较基础&常用的概念or tips等。

1.1 函数

邻域：$\forall \delta >0,U_{\delta}(x_0)=\{x||x-x_0|<\delta\}$ 称为$x_0$的$\delta$邻域。类似有去心邻域 $ \mathring{U}(x_0, \delta)$，左or右邻域的概念。$ U(\infty)={x|x>X}$,$X$为充分大的整数。
函数
- Dirichlet函数：$D(x)=\left\{ \begin{aligned} 1 &\ \ \ x为有理数 \\ 0 &\ \ \ x为无理数\end{aligned} \right.$，无法描绘其图像
一些主要的函数种类：隐函数$F(x,y)=0$，参数方程函数，反函数，复合函数，基本初等函数
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性

$f\cdot g$，只有奇函数乘偶函数为奇函数，其余均为偶函数
$f\circ g$，只有奇函数与奇函数复合为奇函数，其余情况均为偶函数。
任一定义在对称与原点的数集$X$上的函数$f(x)$，必可以分解为一奇一偶函数之和 $f(x)=\frac{1}{2}[f(x)-f(-x)]+\frac{1}{2}[f(x)+f(-x)]$

设$lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$存在，则$\exists \epsilon>0$,当$-\epsilon<x-x_0<0$时，$f(x)$有界。
设$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上有界。

数列的极限：设$\{x_n\}$是一给定数列，$a$是一个常实数。如果$\forall \epsilon>0,\exist N,$当$n>N$时，有$|x_n-a|<\epsilon$，则称数列$\{x_n\}$收敛于$a$，记为$limit_{n\rightarrow\infty}x_n=a\ or\ x_n\rightarrow a(n\rightarrow \infty)$.否则数列发散。
函数的极限，设$A$是一个常实数。如果$\forall \epsilon>0,\exist \delta,$当$0<|x-x_0|<\epsilon$时，有$|f(x)-A|<\delta$，则称$f(x)$在$x=x_0$处收敛于$A$，记为$lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$。
无穷小的比较：将两个函数作比求极限即可。

重要关系
- 极限存在的充要条件：在$x_0$点处的左极限与右极限都存在且相等。
- 数列存在的充要条件：与上述类似。
- 极限的唯一性：极限存在必唯一
- 存在极限与无穷小的关系：若函数在$x_0$的极限为A，则函数-A在该点处极限为0。
判定极限存在
- 夹逼定理
- 单调有界定理：单增有上界（单减有下界）$\Rightarrow$极限存在
几个重要极限与等价无穷小
- $lim_{x\rightarrow 0}$
- $lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1$。推广：$lim_{\phi(x)\rightarrow 0}\frac{sin\phi(x)}{\phi(x)}=1,\phi(x)\neq 0$
- $lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$。推广：$lim_{\phi(x)\rightarrow 0}(1+\phi(x))^{\frac{1}{\phi(x)}}=e,\phi(x)\neq 0$
- $lim_{n\rightarrow \infty\sqrt[n]{n}}=1,lim_{n\rightarrow \infty\sqrt[n]{a}}=1$(常数a>0)
- 当$x\rightarrow0$时，$sinx\sim x,tanx\sim x,1-cosx\sim \frac{1}{2}x^2,e^x-1\sim x,ln(1+x)\sim x,(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x,arcsinx\sim x,a^x-1\sim xlna(a>0,a\neq 1),x^m+x^k\sim x^m(k>m>0)$